This article describes and discusses a method to determine root curvature radius by using cone-beam computed tomography (CBCT). The severity of root canal curvature is essential to select instrument and instrumentation technique. The diagnosis and planning of root canal treatment have traditionally been made based on periapical radiography. However, the higher accuracy of CBCT images to identify anatomic and pathologic alterations compared to panoramic and periapical radiographs has been shown to reduce the incidence of false-negative results. In high-resolution images, the measurement of root curvature radius can be obtained by circumcenter. Based on 3 mathematical points determined with the working tools of Planimp® software, it is possible to calculate root curvature radius in both apical and coronal directions. The CBCT-aided method for determination of root curvature radius presented in this article is easy to perform, reproducible and allows a more reliable and predictable endodontic planning, which reflects directly on a more efficacious preparation of curved root canals.; O objetivo deste estudo foi discutir um método para obter o raio de curvatura a partir de imagens de tomografias computadorizadas cone beam (CBCT). A severidade da curvatura do canal radicular é essencial para selecionar o instrumento e a técnica de instrumentação. O diagnóstico e o planejamento do tratamento endodôntico tem sido feito com o auxílio da radiografia periapical. Contudo...

LetQ(4)( c) be a four-dimensional space form of constant curvature c. In this paper we show that the infimum of the absolute value of the Gauss-Kronecker curvature of a complete minimal hypersurface in Q(4)(c), c <= 0, whose Ricci curvature is bounded from below, is equal to zero. Further, we study the connected minimal hypersurfaces M(3) of a space form Q(4)( c) with constant Gauss-Kronecker curvature K. For the case c <= 0, we prove, by a local argument, that if K is constant, then K must be equal to zero. We also present a classification of complete minimal hypersurfaces of Q(4)( c) with K constant.

We give estimates of the intrinsic and the extrinsic curvature of manifolds that are isometrically immersed as cylindrically bounded submanifolds of warped products. We also address extensions of the results in the case of submanifolds of the total space of a Riemannian submersion.; MEC[PCI2006-A7-0532]; MEC; MICINN; MICINN[MTM2009-10418]; Fundacion Seneca, Spain[04540/GERM/06]; Fundacion Seneca, Spain; CNPq-Brazil; Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq); ICTP; ICTP; FAPESP[2007/03192-7]; Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Neste trabalho, estuda-se propriedades e implementações de duas importantes representações de formas denominadas curvatura e eixos de simetria (ou esqueletos), relacionando-as ao clássico modelo de processamento da informação visual proposto por Marr. Para tanto, fez-se necessária uma releitura dos critérios para a representação de formas já existentes, além da proposição e comparação de algumas abordagens numéricas através das quais curvaturas e esqueletos são calculados, com especial atenção dada a características como robustez e invariância. No caso da curvatura, que é uma medida clássica da geometria diferencial sem divergências quanto a sua definição e interpretação, foi dado maior enfoque à robustez dos métodos quanto à presença de ruídos de diversas naturezas e quanto a sensibilidade na escolha dos parâmetros que levaram aos resultados mais precisos. Além disso, propôs-se uma versão não-derivativa da curvatura (denominada circularidade local) a fim de contornar o problema advindo das instabilidades do cálculo de derivadas de dados reais amostrados. Ainda relativamente à curvatura, um método baseado na transformada de Fourier bidimensional foi proposto e comparado à abordagem unidimensional já estabelecida e a outro método padrão (β-Splines/ Medioni) de cálculo de curvatura de contornos digitais. Já no caso dos esqueletos...

A teoria das transforma»ções de superfícies de curvatura constante começou, no fim do século XIX, com o trabalho [3] de A.V. Bäcklund e, em seguida, recebeu importantes contribuições por parte de diversos geômetras, entre eles, L. Bianchi e C. Guichard (veja, por exemplo, [5, 6, 7, 17]). Nessa dissertação apresentamos alguns dos mais importantes resultados desse tópico da geometria diferencial que estão relacionados às superfícies de curvatura média (ou gaussiana não nula) constante. Tais superfícies estão associadas a soluções de equações diferenciais parciais de segunda ordem e não lineares. A interpretação analítica da teoria das transformações de superfícies de curvatura constante nos capacita obter soluções dessas equações diferenciais parciais a partir de uma outra dada, mediante integração de um sistema de equações diferenciais, chamado transformação de Bäcklund. Então, os teoremas de permutabilidade fornecem uma "fórmula de superposição" para a construção algébrica de novas soluções; The theory on transformations of surfaces with constant curvature begins, in the late nineteen century, with the article [3] of A.V. Bäcklund and, after, received important contributions from various geometricians...

Neste trabalho mostramos que hipersuperfícies completas da esfera Euclidiana S^4, com curvatura média constante e curvatura de Gauss-Kronecker nula são mínimas, sempre que o quadrado da norma da segunda forma fundamental for limitado superiormente. Além disso apresentamos uma descrisão local das hipersuperfícies mínimas e completas em S^5 com curvatura de Gauss- Kronecker nula e algumas hipóteses adicionais sobre as funções simétricas das curvaturas principais.; In this work we show that a complete hipersurface of the unitary sphere S^4, with constant mean curvature and zero Gauss-Kronecker curvature must be minimal, if the squared norm of the second fundamental form is bounded from above. Also, we present a local description for complete minimal hipersurfaces in S^5 with zero Gauss-Kronecker curvature, and some restrictions for the symmetric functions of the principal curvatures.

This paper reports the novel application of digital curvature as a feature for morphological characterization and classification of landmark shapes. By inheriting several unique features of the continuous curvature, the digital curvature provides invariance to translations, rotations, local shape deformations, and is easily made tolerant to scaling. In addition, the bending energy, a global shape feature, can be directly estimated from the curvature values. The application of these features to analyse patterns of cranial morphological geographic differentiation in the rodent species Thrichomys apereoides has led to encouraging results, indicating a close correspondence between the geographical and morphological distributions. (C) 2003 Pattern Recognition Society. Published by Elsevier Ltd. All rights reserved.

Em geral, o espaço EucIidiano é utilizado no projeto e na análise de desempenho da maior parte dos sistemas de comunicações atuais. Nesta tese, verificamos que o modelo de um sistema de comunicação não necessariamente está restrito ao espaço Euclidiano, mas sim a uma variedade Riemanniana. Com isso, os sistemas de comunicaçoes podun ser analisados em um contexto mais geral, no qual constatamos que a curvatura do espaço influencia em seus desempenhos. Corno exemplo, estudamos a curvatura de meios ópticos e propomos novos perfis de guias de ondas, fibras ópticas e lentes de interesse prático. Além disso, caracterizamos a curvatura de modulações não-lineares (twisted) e verificamos que o valor máximo permitido para a energia média do ruído está relacionada ao valor da curvatura da modulação. Neste contexto, as moclulações associadas a superfícies mínimas apresentaram bons desempenhos, pois tais modulações são pontos críticos do erro quadrático médio. Mostramos também que o espaço de sinais possui métrica induzida da superfície associada à modulação. Com isso, foi possível demonstrar que os espaços de sinais com curvatura negativa são os que apresentam melhor desempenho segundo a probabilidade média de erro. Dessa forma...

This article describes and discusses a method to determine root curvature radius by using cone-beam computed tomography (CBCT). The severity of root canal curvature is essential to select instrument and instrumentation technique. The diagnosis and planning of root canal treatment have traditionally been made based on periapical radiography. However, the higher accuracy of CBCT images to identify anatomic and pathologic alterations compared to panoramic and periapical radiographs has been shown to reduce the incidence of false-negative results. In high-resolution images, the measurement of root curvature radius can be obtained by circumcenter. Based on 3 mathematical points determined with the working tools of Planimp® software, it is possible to calculate root curvature radius in both apical and coronal directions. The CBCT-aided method for determination of root curvature radius presented in this article is easy to perform, reproducible and allows a more reliable and predictable endodontic planning, which reflects directly on a more efficacious preparation of curved root canals.

In many areas of computer vision, such as multiscale analysis and shape description, an image or surface is smoothed by a nonlinear parabolic partial differential equation to eliminate noise and to reveal the large global features. An ideal flow, or smoothing process, should not create new features. In this paper we describe in detail the effect of a number of flows on surfaces on the parabolic curves, the ridge curves, and umbilic points. In particular we look at the mean curvature flow and the two principal curvature flows. Our calculations show that two principal curvature flows never create parabolic and ridge curves of the same type as the flow, but no flow is found capable of simultaneously smoothing out all features. In fact, we find that the principal curvature flows in some cases create a highly degenerate type of umbilic. We illustrate the effect of these flows by an example of a 3-D face evolving under principal curvature flows.; Mathematics

In this work we prove two theorems that characterize the hypersurfaces in the unitary sphere of dimension n+1. The first result, obtained by H. Alencar and M. do Carmo, classifies hypersurfaces with constant mean curvature in the sphere. This result was published in April 1994 in Proceedings of The American Mathematical Society, volume 120, number 4 with the title Hypersurfaces with Constant Mean Curvature. The second result was obtained by Li Haizhong in the article Hypersurfaces with Constant Scalar Curvature in Space Forms, published in 1996 in the journal Mathematisch Annalen, volume 305. The theorem of Li Haizhong characterizes hypersurfaces with constant scalar curvature in the sphere. We prove the theorem of Li Haizhong using the results obtained by H. Alencar and M. do Carmo.; Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico; Nesta dissertação apresentamos dois teoremas que caracterizam as hipersuperfícies na esfera unitária de dimensão n+1. O primeiro resultado, obtido por H. Alencar e M. do Carmo, classifica as hipersuperfícies com curvatura média constante na esfera. Este resultado foi publicado em abril de 1994 no Proceedings of The American Mathematical Society, volume 120, número 4 com o título Hypersurfaces With Constant Mean Curvature.O segundo resultado provado nesta dissertação foi obtido por Li Haizhong no artigo Hypersurfaces With Constant Scalar Curvature in Spaces Forms...

This work was based on papers On Compact Minimal Surfaces with non-negative Gaussian Curvature in a Space of Constant Curvature: I and Minimal Surfaces with Constant Curvature in 4-dimensional Space Forms, by Katsuei Kenmotsu, consisting in the classification of minimal surfaces with constant Gaussian curvature K in a 4-dimensional space form without any global assumption. We will show that an isometric minimal immersion x: M2(K) → M4(c), where c is sectional curvature, is either totally geodesic, or locally Clifford Torus, or locally a Veronese surface. As a corollary, we have that there is not isometric minimal immersions with constant negative Gaussian curvature into unit sphere S4(1) even locally.; Este trabalho foi baseado nos artigos On CompactMinimal Surfaces with non-negative Gaussian Curvature in a Space of Constant Curvature: I e Minimal Surfaces with Constant Curvature in 4-dimensional Space Forms de Katsuei Kenmotsu que consistem em classificar superfícies mínimas com curvatura Gaussiana constante K nas formas espaciais 4-dimensionais, sem alguma hipótese global. Mostraremos que uma imersão isométrica mínima x : M2(K) → M4(c), onde c é a curvatura seccional, ou é totalmente geodésica, ou localmente um Toro de Clifford...

In this work we classify the complete surfaces with constant Gaussian curvature into the H2×R and S2×R.We show that exists a unique complete surface, up to isometries, with positive constant Gaussian curvature into the H2×R, and greater than one, into the S2×R and that there is no complete surfaces with constant Gaussian curvature K(I) < −1 into the H2×R and S2×R. We prove that even if −1 ≤ K(I) < 0 there are infinite complete surfaces into the H2 ×R with Gaussian curvature K(I) and with additional assumption we prove there is if −1 ≤ K(I) < 0 and 0 < K(I) < 1 there is no exists complete surfaces into S2×R with Gaussian curvature K(I). These results were obtained by Aledo, Espinar and Gálvez and can be found in [1].; Neste trabalho classificamos as superfícies completas, com curvatura Gaussiana constante, em H2 × R e S2 × R. Mostramos que existe uma única superfície completa, a menos de isometria, com curvatura Gaussiana constante positiva em H2 × R, maior que um, em S2 × R, e que não existe superfície completa com curvatura Gaussiana, K(I) < −1, em H2 × R e S2 × R. Provamos ainda que, se −1 ≤ K(I) < 0, existem infinitas superfícies completas em H2×R com curvatura Gaussiana K(I) e...

In this work we study some results from the article of Tomas E. Cecil, On the Lie curvature of Dupin hypersurfaces [4]. We study the basic concepts of Lie sphere geometry, which given the framework for the study of Dupin hypersurfaces in the Lie sphere geometry. We construct example of a non-compact proper Dupin hypersurface immersed in Sn on which the Lie curvature Ψ = 1/2 which is not Lie equivalent to an open subset of an isoparametric hypersurface in Sn. We also produce example on which Lie curvature Ψ has a constant value c, 0 < c < 1.; Neste trabalho estudamos alguns resultados do artigo de Tomas E. Cecil, On the Lie curvature of Dupin hypersurfaces [4]. Estudamos os conceitos básicos da geometria de Lie, que fornece as ferramentas necessárias para o estudo das hipersuperfícies de Dupin na geometria de Lie. Construímos exemplos de uma hipersuperfície de Dupin própria não compacta mergulhada em Sn, com curvatura de Lie Ψ = 1/2 e que não é Lie equivalente a um subconjunto aberto de uma hipersuperfície isoparamétrica em Sn. Também construímos exemplos onde a curvatura de Lie Ψ tem valor constante c, 0 < c < 1.

It is well-known that solutions of such flows necessarily suffer finite time singularities. On the other hand, under various natural conditions, singularities are characterised by a curvature blow-up. Our first main area of study concerns the asymptotic behaviour of the curvature at a singularity. We first prove a quantitative convexity estimate for positive solutions (that is, solutions moving with inward normal speed everywhere positive) under one of the following additional assumptions: either the evolving hypersurfaces are of dimension two, or the flow speed is a convex function of the curvature. Roughly speaking, the convexity estimate states that, for positive solutions, the normalised Weingarten curvature operator is asymptotically non-negative at a singularity. We then prove a family of cylindrical estimates for flows by convex speed functions. Roughly speaking, these estimates state that, for $(m+1)$-positive solutions (that is, solutions with $(m+1)$-positive Weing! arten curvature), the Weingarten curvature is asymptotically $m$-cylindrical at a singularity unless it becomes $m$-positive. The convexity and cylindrical estimates yield a detailed description of the possible singularities which may form under surface flows and flows by convex speeds. Moreover...

In this work we refer to the study of a geometric invariant surfaces immersed in Euclidean 3-dimensional sphere S3. Such invariant, known as angle contact, is the complementary angle between the distribution of contact d and the tangent space of the surface. Montes and Verderesi [22] characterized the minimal surfaces in S3 with constant contact angle and Almeida, Brazil and Montes [4] studied some properties of immersed constant mean curvature into a round sphere S3 with constant contact angle. The our aim of this work is to deduce a general formula involving the Gaussian curvature, the mean curvature and the contact angle of surfaces immersed in Euclidean sphere 3-dimensional, which shows that the surface is flat if the contact angle is constant. Moreover, we deduce that the Clifford tori are the unique compact surfaces with constant mean curvature having such propriety. Keywords; Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq; Neste trabalho nos referimos ao estudo de um invariante geométrico de superfícies imersas na esfera Euclidiana 3-dimensional S3. Tal invariante, conhecido como ângulo de contato, é o complementar do ângulo entre a distribuição de contato d e o espaço tangente da superfície. Montes e Verderesi [22] caracterizaram as superfícies mínimas em S3 com ângulo de contato constante e Almeida...

O projetivo de curvatura em um ponto de uma 3-variedade M de classe 'C POT. 2' imersa em 'IR POT. п' , n >-4, é o lugar geométrico de todos os extremos dos vetores curvatura de secções normais ao longo de todas as direções tangentes a M em p. Mostramos que o projetivo de curvatura em p é isomorfo (difeomorfo) à superfície de Veronese clássica de ordem 2, composta com uma transformação linear. Conforme o posto desta transformação linear, o projetivo de curvatura será dado por projeções da superfície de Veronese em subespaços do espaço normal da variedade M. Quanto menor o posto, maior será a umbilicidade da variedade no ponto em questão. Também estudamos a natureza geométrica e singularidades para os diferentes casos de projetivos de curvatura em pontos de M, os quais incluem a superfície Romana de Steiner, a Cross-Cap, a superfície de Steiner de Tipo 5 e a Cross-Cup. Além disso, analisamos os pontos singulares de segunda ordem da imersão, no sentido de Feldman e estabelecemos condições relacionadas à natureza do projetivo de curvatura, para que uma 3-variedade imersa em 'IR POT. п', n >_ 9, tenha contato de ordem _ 2 com k-planos e k-esferas de IRn, 3 _ k _ 8.; The curvature projective plane at each point p of three-manifolds M immersed in 'IR POT. п'...

7 pages, 5 figures.-- PMID: 18023916 [PubMed].-- Available online 19 November 2007.; Recently, curvature was described as a new trait useful in the analysis of root apex shape. Treating the root profile as a geometric curve revealed that root apex curvature values are lower in ethylene-insensitive mutants (Cervantes E, Tocino A. Geometric analysis of Arabidopsis root apex reveals a new aspect of the ethylene signal transduction pathway in development. J Plant Physiol 2005;162:1038–45). This fact suggests that curvature is regulated by ethylene. In this work, we have determined the curvature values in embryonic roots of wild-type Columbia as well as in ethylene signal-transduction mutants, and found smaller values in embryos of the mutants. We also report on the evolution of root curvature during early development after seed germination. The line Lt16b that expresses GFP in the cell wall has allowed us to investigate the evolution of curvature values in three successive cell layers of seedling roots by confocal microscopy. Treatment of seedlings with norbornadiene resulted in lower curvature values.; Peer reviewed

The low sloping sandy shoreline of the East Coast is one of the most dynamic and complicated systems influenced by a series of factors. Shoreline curvature has been mentioned in several pieces of literature as one of these factors, as it influences the shaping processes of the shoreline through affecting the alongshore sediment transport. However, only a few quantitative research or evidence has been provided to show the curvature influence on shoreline change rate. Using the coastline contour data of the east coast, the curvature has been calculated and smoothed on different scales (1-km, 3-km and 5-km) in this project. The results of correlation analysis of selected shoreline segments in Florida and North Carolina indicate the existence of a significant correlation between curvature and shoreline change rate. The greatest coefficient was observed on the 3-km scale of selected shoreline segments, which is similar to previous foundings. The results also show that the strength of correlation varies from one location to another.

We obtain the evolution equations for the Riemann tensor, the Ricci tensor and the scalar curvature induced by the mean curvature flow. The evolution of the scalar curvature is similar to the Ricci flow, however, negative, rather than positive, curvature is preserved. Our results are valid in any dimension.