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‣ Resolução numérica de EDPs utilizando ondaletas harmônicas; Numerical resolution of partial differential equations using harmonic wavelets

Peixoto, Pedro da Silva
Fonte: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP Publicador: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP
Tipo: Dissertação de Mestrado Formato: application/pdf
Publicado em 16/07/2009 Português
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68.534663%
Métodos de resolução numérica de equações diferenciais parciais que utilizam ondaletas como base vêm sendo desenvolvidos nas últimas décadas, mas existe uma carência de estudos mais profundos das características computacionais dos mesmos. Neste estudo analisou-se detalhadamente um método espectral de Galerkin com base de ondaletas harmônicas. Revisou-se a teoria matemática referente às ondaletas harmônicas, que mostrou ter grande similaridade com a teoria referente à base trigonométrica de Fourier. Diversos testes numéricos foram realizados. Ao analisarmos a resolução da equação do transporte linear, e também de transporte não linear (equação de Burgers), obtivemos boas aproximações da solução esperada. O custo computacional obtido foi similar ao método com base de Fourier, mas com ondaletas harmônicas foi possível usar a localidade das ondaletas para detectar características de localidade do sinal. Analisamos ainda uma abordagem pseudo-espectral para os casos não lineares, que resultaram em um expressivo aumento de eficiência. Tendo em vista o uso das propriedades de localidade das ondaletas, usamos o método de Galerkin com base de ondaletas harmônicas para resolver um sistema de equações referente a um modelo de propagação de frentes de precipitação. O método mostrou boas aproximações das soluções esperadas...

‣ Análise numérica da transição à turbulência em escoamentos de jatos circulares livres; Numerical simulation of the transition in free round jet flows

Souza, Ana Marta de
Fonte: Universidade Federal de Uberlândia Publicador: Universidade Federal de Uberlândia
Tipo: Tese de Doutorado
Português
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58.062754%
O interesse em escoamentos do tipo jato é justificável por sua considerável importância tecnológica em aplicações industriais, sistemas de propulsão de aviões e aeronaves e processos de geração de ruídos. Em todas estas aplicações o controle do jato é determinante para a otimização dos processos ou mesmo para solução de problemas específicos. Diante desta motivação, o objetivo do presente trabalho consiste na análise física de jatos circulares livres através de simulações tridimensionais. A este objetivo somam-se análises da influência de diferentes tipos de perturbação sobre a formação e evolução das estruturas turbilhonares. Na primeira etapa de desenvolvimento do presente trabalho, as simulações foram realizadas utilizando dois códigos (LAYER2 e CIL3D), os quais empregam Simulação de Grandes Escalas (SGE) e esquemas numéricos de 2a ordem. Os resultados obtidos não permitiram atingir os objetivos propostos. Entretanto, foi possível concluir que esquemas numéricos de baixa ordem não são adequados para simular com detalhe o escoamento de jatos, o que também pode ser verificado em outros trabalhos. Resultados bem-sucedidos do ponto de vista da análise física foram obtidos através do código SPECTRAL...

‣ Simulação de escoamentos não-periódicos utilizando as metodologias pseudo-espectral e da fronteira imersa acopladas; Simulation of non-periodics flows using the fourier pseudo-spectral and immersed boundary methods

Mariano, Felipe Pamplona
Fonte: Universidade Federal de Uberlândia Publicador: Universidade Federal de Uberlândia
Tipo: Dissertação
Português
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88.81741%
Para compreender fenômenos relacionados à combustão, aeroacústica, transição a turbulência entre outros, a Dinâmica de Fluídos Computacional (CFD) utiliza os métodos de alta ordem. Um dos mais conhecidos é o método pseudo-espectral de Fourier, o qual alia: alta ordem de precisão na resolução das equações, com um baixo custo computacional. Este está ligado à utilização da FFT e do método da projeção do termo da pressão, o qual desvincula os cálculos da pressão da resolução das equações de Navier-Stokes. O procedimento de calcular o campo de pressão, normalmente é o mais oneroso nas metodologias convencionais. Apesar destas vantagens, o método pseudo-espectral de Fourier só pode ser utilizado para resolver problemas com condições de contorno periódicas, limitando o seu uso no campo da dinâmica de fluídos. Visando resolver essa restrição uma nova metodologia é proposta no presente trabalho, que tem como objetivo simular escoamentos não-periódicos utilizando o método pseudo-espectral de Fourier. Para isso, é utilizada a metodologia da Fronteira Imersa, a qual representa as condições de contorno de um escoamento através de um campo de força imposto nas equações de Navier-Stokes. Como teste...

‣ Solução numérica das equações de Navier-Stokes usando uma hibridação das metodologias Fronteira Imersa e Pseudo-Espectral de Fourier; Numerical solution of Navier-Stokes equations using a hybrid methodology of immersed boundary and Fourier pseudo-spectral

Mariano, Felipe Pamplona
Fonte: Universidade Federal de Uberlândia Publicador: Universidade Federal de Uberlândia
Tipo: Tese de Doutorado
Português
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78.27295%
No presente trabalho é desenvolvida uma nova metodologia para a solução das equações de Navier-Stokes na formulação incompressível aplicada a escoamentos sobre geometrias complexas. Ela é baseada no acoplamento da metodologia pseudo-espectral de Fourier (MPEF) juntamente com a metodologia da fronteira imersa (MFI). As principais particularidades do MPEF é a alta acurácia numérica, aliada com o baixo custo computacional, pois não é necessário resolver o sistema linear do acoplamento pressão-velocidade. Entretanto, ela é limitada a problemas com condições de contorno periódicas. Com o intuito de expandir a aplicabilidade da MPEF a outros problemas da Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD), ela foi acoplada à MFI. A MFI é uma metodologia desenvolvida para simular escoamentos sobre geometrias complexa e móveis usando malha cartesiana. Normalmente, apresenta baixa acurácia nos resultados próximos à região da interface imersa. Com a hibridação proposta no presente trabalho, obtém-se um aumento da precisão dos resultados sobre a fronteira. No presente trabalho mostra-se os resultados de verificação e validação da metodologia híbrida. Para a verificação utilizou-se a técnica das soluções manufaturas...

‣ Simulação de grandes escalas de jatos periódicos temporais utilizando a metodologia psedo-espectral de Fourier; Large eddy simulation of periodic temporal jets using the Fourier pseudo-spectral method

Moreira, Leonardo de Queiroz
Fonte: Universidade Federal de Uberlândia Publicador: Universidade Federal de Uberlândia
Tipo: Dissertação
Português
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98.3079%
A turbulência nos fluídos é um dos problemas mais desafiadores da atualidade, em especial no que se refere às aplicações industriais que envolvem processos de mistura de componentes, transferência de calor, lubrificação e degelo, injeção de combustível em câmaras de combustão, sistemas de propulsão de aviões e aeronaves. Diante de considerável interesse, no presente trabalho objetivou-se a análise da transição a turbulência de jatos em desenvolvimento temporal a números de Reynolds moderados utilizando a metodologia LES. Primeiramente desenvolveu-se um código computacional ESPC3D, com alta ordem de resolução para simulação de escoamentos do tipo jatos em desenvolvimento temporal em transição e/ou turbulentos. O código foi desenvolvido no Laboratório de Transferência de Calor e Massa e Dinâmica dos Fluidos (LTCM). Resultados consistentes foram obtidos do ponto de vista da análise física utilizando o código ESPC3D, com o qual realizou-se simulações de grandes escalas empregando o método pseudo-espectral de Fourier. Os resultados das simulações permitem verificar a transição a turbulência bem como suas estruturas típicas. Foi possível também verificar a influência da modelagem da turbulência utilizando a metodologia LES...

‣ Modelagem matemática de escoamentos bifásicos usando o Meto- Do Espectral de Fourier; Mathematics modeling of two-phase ows using spectral method of Fourier

Villela, Mariana Fernandes dos Santos
Fonte: Universidade Federal de Uberlândia Publicador: Universidade Federal de Uberlândia
Tipo: Dissertação
Português
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88.62333%
A simulação numérica de escoamentos bifásicos requer alta acurácia para se obter maiores detalhes do escoamento. Além disso, busca-se baixo custo computacional, pois de modo geral, as metodologias necessitam de um elevado refinamento da malha ou possuem um grande estêncil de discretização, o que as torna onerosas. Portanto, o presente trabalho propõe a utilização do método pseudo-espectral de Fourier para resolver problemas de escoamentos multifásicos, o qual tem alta ordem de convergência numérica e um baixo custo computacional, devido ao algoritmo denominado FFT (Fast Fourier Transform). Além destas vantagens, este método, ao resolver as equações de Navier-Stokes, desacopla a pressão da velocidade, através do método da projeção, sem a necessidade de resolver a equação de Poisson. Para tratar escoamentos bifásicos com geometria móvel e deformável, utiliza-se o método pseudo-espectral de Fourier acoplado com o método híbrido Front-Tracking/Front- Capturing. Este método híbrido trabalha com dois domínios, sendo um euleriano, onde se resolvem as equações para o uido (equação de conservação de massa e as equações de Navier- Stokes) e o outro, móvel, lagrangiano, utilizado para as interfaces. Para este método...

‣ Modelagem matemática de jatos em desenvolvimento espacial usando a metodologia pseudoespectral de Fourier

Moreira, Leonardo de Queiroz
Fonte: Universidade Federal de Uberlândia Publicador: Universidade Federal de Uberlândia
Tipo: Tese de Doutorado
Português
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58.28358%
A busca por métodos de alta acurácia e alta taxa de convergência com a finalidade de resolver as equações de Navier-Stokes é de grande interesse para estudiosos de CFD. Essa busca é motivada, pois existem fenômenos físicos, como a turbulência nos fluidos, para os quais apenas metodologias que possuem uma alta acurácia permitem obter uma solução satisfatória da física que caracteriza o problema. A principal dificuldade encontrada em obter alta acurácia na solução das equações de Navier-Stokes é o custo computacional. Neste sentindo, no MFLab, uma nova metodologia começou a ser desenvolvida com os trabalhos de Mariano (2007), Moreira (2007), Mariano (2011). Ela é baseada no acoplamento da metodologia pseudo-espectral de Fourier (MPEF) juntamente com a metodologia da fronteira imersa (MFI). As principais particularidades do MPEF é a alta acurácia numérica, aliada com o baixo custo computacional em termo relativos, pois não é necessário resolver um sistema linear do acoplamento pressão-velocidade. Entretanto, ela é limitada a problemas com condições de contorno periódicas. Com o intuito de expandir a aplicabilidade da MPEF a outros problemas da Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD), ela foi acoplada à metodologia de Fronteira Imersa (MFI). A MFI é uma metodologia desenvolvida para simular escoamentos sobre geometrias complexas e móveis usando malha cartesiana. Normalmente...

‣ An application of pseudo-spectral discretization in modelling of unsymmetrical transmission lines

Zivanovic, R.; Schulze, R.; Schegner, P.
Fonte: Power Systems Computation Conference; UK Publicador: Power Systems Computation Conference; UK
Tipo: Conference paper
Publicado em //2011 Português
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67.91118%
This paper explains how to convert a distributed- parameter model of an unsymmetrical transmission line for specific boundary conditions into a system of Ordinary Differential Equations (ODEs). This approach can be used to study switching transients on transmission lines or to develop new algorithms for line parameter identification. The main technique in the process of model conversion is spatial discterization achieved by using the Chebyshev pseudo-spectral method. The key quality of this approach lies in the application of the Lagrange polynomial interpolation with barycentric weights to represent change of a variable in space and to formulate operators for spatial derivatives. Approximation accuracy for a specific spatial grid resolution can be determined by evaluating coefficients of the Chebyshev polynomial expansion. These are computed from the Lagrange interpolation using Discrete Cosine Transform (DCT). The numerical example is presented to demonstrate application of the method in simulating distributed-parameter unsymmetrical lines during switching events.; http://www.pscc-central.org/en/background/papers-from-previous-psccs/all-years.html; Rastko Živanovic, Roberto Schulze, Peter Schegner

‣ A pseudo-spectral method for the Kardar-Parisi-Zhang equation

Giada, Lorenzo; Giacometti, Achille; Rossi, Maurice
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Português
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57.73794%
We discuss a numerical scheme to solve the continuum Kardar-Parisi-Zhang equation in generic spatial dimensions. It is based on a momentum-space discretization of the continuum equation and on a pseudo-spectral approximation of the non-linear term. The method is tested in (1+1)- and (2+1)- dimensions, where it is shown to reproduce the current most reliable estimates of the critical exponents based on Restricted Solid-on-Solid simulations. In particular it allows the computations of various correlation and structure functions with high degree of numerical accuracy. Some deficiencies which are common to all previously used finite-difference schemes are pointed out and the usefulness of the present approach in this respect is discussed.; Comment: 12 pages, 13 .eps figures, revetx4. A few equations have been corrected. Erratum sent to Phys. Rev. E

‣ General-relativistic electromagnetic fields around a slowly rotating neutron star: time-dependent pseudo-spectral simulations

Pétri, J.
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Publicado em 07/01/2014 Português
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57.57164%
Pulsars are believed to loose their rotational kinetic energy primarily by a large amplitude low frequency electromagnetic wave which is eventually converted into particle creation, acceleration and followed by a broad band radiation spectrum. To date, there exist no detailed calculation of the exact spin-down luminosity with respect to the neutron star magnetic moment and spin frequency, including general-relativistic effects. Estimates are usually given according to the flat spacetime magnetodipole formula. The present paper pursue our effort to look for accurate solutions of the general-relativistic electromagnetic field around a slowly rotating magnetized neutron star. In a previous work, we already found approximate stationary solutions to this problem. Here we address again this problem but using a more general approach. We indeed solve the full set of time-dependent Maxwell equations in a curved vacuum space-time following the 3+1 formalism. The numerical code is based on our pseudo-spectral method exposed in a previous paper for flat space-time. We adapted it to an arbitrary fixed background metric. Stationary solutions are readily obtained and compared to semi-analytical calculations.; Comment: Accepted by MNRAS (9 pages, 7 figures...

‣ A pseudo-spectral method for a non-local KdV-Burgers equation posed on $\mathbb R$

de la Hoz, Francisco; Cuesta, Carlota Maria
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Publicado em 25/11/2015 Português
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67.73794%
In this paper, we present a new pseudo-spectral method to solve the initial value problem associated to a non-local KdV-Burgers equation involving a Caputo-type fractional derivative. The basic idea is, using an algebraic map, to transform the whole real line into a bounded interval where we can apply a Fourier expansion. Special attention is given to the correct computation of the fractional derivative in this setting.

‣ A single-domain spectral method for black hole puncture data

Ansorg, Marcus; Bruegmann, Bernd; Tichy, Wolfgang
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Português
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57.407217%
We calculate puncture initial data corresponding to both single and binary black hole solutions of the constraint equations by means of a pseudo-spectral method applied in a single spatial domain. Introducing appropriate coordinates, these methods exhibit rapid convergence of the conformal factor and lead to highly accurate solutions. As an application we investigate small mass ratios of binary black holes and compare these with the corresponding test mass limit that we obtain through a semi-analytical limiting procedure. In particular, we compare the binding energy of puncture data in this limit with that of a test particle in the Schwarzschild spacetime and find that it deviates by 50% from the Schwarzschild result at the innermost stable circular orbit of Schwarzschild, if the ADM mass at each puncture is used to define the local black hole masses.; Comment: 13 pages, 6 figures; published version with one important change, see Fig. 4 and the corresponding changes to the text

‣ A Bloch decomposition based split-step pseudo spectral method for quantum dynamics with periodic potentials

Huang, Zhongyi; Jin, Shi; Markowich, Peter; Sparber, Christof
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Publicado em 02/05/2012 Português
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57.87866%
We present a new numerical method for accurate computations of solutions to (linear) one dimensional Schr\"odinger equations with periodic potentials. This is a prominent model in solid state physics where we also allow for perturbations by non-periodic potentials describing external electric fields. Our approach is based on the classical Bloch decomposition method which allows to diagonalize the periodic part of the Hamiltonian operator. Hence, the dominant effects from dispersion and periodic lattice potential are computed together, while the non-periodic potential acts only as a perturbation. Because the split-step communicator error between the periodic and non-periodic parts is relatively small, the step size can be chosen substantially larger than for the traditional splitting of the dispersion and potential operators. Indeed it is shown by the given examples, that our method is unconditionally stable and more efficient than the traditional split-step pseudo spectral schemes. To this end a particular focus is on the semiclassical regime, where the new algorithm naturally incorporates the adiabatic splitting of slow and fast degrees of freedom.; Comment: 26 pages, 50 figures

‣ Analysis of Non-Linear Mode Coupling of Cosmological Density Fluctuations by the Pseudo-Spectral Method

Gouda, Naoteru
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Publicado em 05/06/1995 Português
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68.219%
The pseudo-spectral method is proposed for following the evolution of density and velocity fluctuations at the weakly non-linear stage in the expanding universe with a good accuracy. In this method, the evolution of density and velocity fluctuations is integrated in the Fourier Space with using FFT. This method is very useful to investigate accurately the non-linear dynamics in the weakly non-linear regime. Because the pseudo-spectral method works directly in the Fourier space, it should be especially useful for examining behavior in the Fourier domain, for an example, the effects of the non-linear coupling of different wave modes on the evolution of the power spectrum. I show the results of this analysis both in one and three dimensional systems.; Comment: 12 pages+3 figures, uuencoded, tar compressed Postscript. To appear in Prog.Theor.Phys.vol.94

‣ Finite volume and pseudo-spectral schemes for the fully nonlinear 1D Serre equations

Dutykh, Denys; Clamond, Didier; Milewski, Paul; Mitsotakis, Dimitrios
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Português
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57.57164%
After we derive the Serre system of equations of water wave theory from a generalized variational principle, we present some of its structural properties. We also propose a robust and accurate finite volume scheme to solve these equations in one horizontal dimension. The numerical discretization is validated by comparisons with analytical, experimental data or other numerical solutions obtained by a highly accurate pseudo-spectral method.; Comment: 28 pages, 16 figures, 75 references. Other author's papers can be downloaded at http://www.denys-dutykh.com/

‣ An Immersed Boundary Fourier Pseudo-spectral Method for Simulation of Confined Two-dimensional Incompressible Flows

Sabetghadam, Fereidoun; Badri, Mehdi; Sharafatmandjoor, Shervin; Kor, Hosnieh
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Publicado em 27/10/2011 Português
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58.67042%
The present paper is devoted to implementation of the immersed boundary technique into the Fourier pseudo-spectral solution of the vorticity-velocity formulation of the two-dimensional incompressible Navier--Stokes equations. The immersed boundary conditions are implemented via direct modification of the convection and diffusion terms, and therefore, in contrast to many other similar methods, there is not an explicit external forcing function in the present formulation. The desired immersed boundary conditions are approximated on some regular grid points, using different orders (up to second-order) polynomial extrapolations. At the beginning of each timestep, the solenoidal velocities (also satisfying the desired immersed boundary conditions), are obtained and fed into a conventional pseudo-spectral solver, together with a modified vorticity. The zero-mean pseudo-spectral solution is employed, and therefore, the method is applicable to the confined flows with zero mean velocity and vorticity, and without mean vorticity dynamics. In comparison to the classical Fourier pseudo-spectral solution, the method needs ${\cal O}(4(1+\log N)N)$ more operations for boundary condition settings. Therefore, the computational cost of the method, as a whole...

‣ Studies of Thermally Unstable Accretion Disks around Black Holes with Adaptive Pseudo-Spectral Domain Decomposition Method I. Limit-Cycle Behavior in the Case of Moderate Viscosity

Li, Shuang-Liang; Xue, Li; Lu, Ju-Fu
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Publicado em 16/05/2007 Português
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57.914976%
We present a numerical method for spatially 1.5-dimensional and time-dependent studies of accretion disks around black holes, that is originated from a combination of the standard pseudo-spectral method and the adaptive domain decomposition method existing in the literature, but with a number of improvements in both the numerical and physical senses. In particular, we introduce a new treatment for the connection at the interfaces of decomposed subdomains, construct an adaptive function for the mapping between the Chebyshev-Gauss-Lobatto collocation points and the physical collocation points in each subdomain, and modify the over-simplified 1-dimensional basic equations of accretion flows to account for the effects of viscous stresses in both the azimuthal and radial directions. Our method is verified by reproducing the best results obtained previously by Szuszkiewicz & Miller on the limit-cycle behavior of thermally unstable accretion disks with moderate viscosity. A new finding is that, according to our computations, the Bernoulli function of the matter in such disks is always and everywhere negative, so that outflows are unlikely to originate from these disks. We are encouraged to study the more difficult case of thermally unstable accretion disks with strong viscosity...

‣ FMM-based vortex method for simulation of isotropic turbulence on GPUs, compared with a spectral method

Yokota, Rio; Barba, L. A.
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Português
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57.87982%
The Lagrangian vortex method offers an alternative numerical approach for direct numerical simulation of turbulence. The fact that it uses the fast multipole method (FMM)--a hierarchical algorithm for N-body problems with highly scalable parallel implementations--as numerical engine makes it a potentially good candidate for exascale systems. However, there have been few validation studies of Lagrangian vortex simulations and the insufficient comparisons against standard DNS codes has left ample room for skepticism. This paper presents a comparison between a Lagrangian vortex method and a pseudo-spectral method for the simulation of decaying homogeneous isotropic turbulence. This flow field is chosen despite the fact that it is not the most favorable flow problem for particle methods (which shine in wake flows or where vorticity is compact), due to the fact that it is ideal for the quantitative validation of DNS codes. We use a 256^3 grid with Re_lambda=50 and 100 and look at the turbulence statistics, including high-order moments. The focus is on the effect of the various parameters in the vortex method, e.g., order of FMM series expansion, frequency of reinitialization, overlap ratio and time step. The vortex method uses an FMM code (exaFMM) that runs on GPU hardware using CUDA...

‣ A spectral method for half-integer spin fields based on spin-weighted spherical harmonics

Beyer, Florian; Daszuta, Boris; Frauendiener, Joerg
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Português
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57.538003%
We present a new spectral scheme for analysing functions of half-integer spin-weight on the $2$-sphere and demonstrate the stability and convergence properties of our implementation. The dynamical evolution of the Dirac equation on a manifold with spatial topology of $\mathbb{S}^2$ via pseudo-spectral method is also demonstrated.; Comment: 25 pages, 18 figures. Agrees with the published version

‣ Computing Nearly Singular Solutions Using Pseudo-Spectral Methods

Hou, Thomas Y.; Li, Ruo
Fonte: Universidade Cornell Publicador: Universidade Cornell
Tipo: Artigo de Revista Científica
Publicado em 11/01/2007 Português
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58.6257%
In this paper, we investigate the performance of pseudo-spectral methods in computing nearly singular solutions of fluid dynamics equations. We consider two different ways of removing the aliasing errors in a pseudo-spectral method. The first one is the traditional 2/3 dealiasing rule. The second one is a high (36th) order Fourier smoothing which keeps a significant portion of the Fourier modes beyond the 2/3 cut-off point in the Fourier spectrum for the 2/3 dealiasing method. Both the 1D Burgers equation and the 3D incompressible Euler equations are considered. We demonstrate that the pseudo-spectral method with the high order Fourier smoothing gives a much better performance than the pseudo-spectral method with the 2/3 dealiasing rule. Moreover, we show that the high order Fourier smoothing method captures about $12 \sim 15%$ more effective Fourier modes in each dimension than the 2/3 dealiasing method. For the 3D Euler equations, the gain in the effective Fourier codes for the high order Fourier smoothing method can be as large as 20% over the 2/3 dealiasing method. Another interesting observation is that the error produced by the high order Fourier smoothing method is highly localized near the region where the solution is most singular...